Chilukaroch1

תרומתם של תרגילי החילוק הארוך להתפתחות של הפרט

 

הקשר בין חשיבה לידע

 

בעולם מתפתח כשלנו עלינו להקנות ללומד כלים שיעמדו לשימושו בעתיד. אין איש יודע מה יהיו חידושי העתיד ומשימתו של החינוך להכין את הפרט ואת החברה לקראת אותו עתיד בלתי ידוע לנו. כישורי חשיבה הם כלי מהותי, הניתן להקנייה כיום ויעמוד לצידו של הלומד בכל תנאי בעתיד. התכנים עשויים להשתנות, אבל היכולות שנַקְנֶה לאדם יאפשרו לו לרכוש ידע חדש, לבחון אותו, להשתמש בו ולייצר ידע נוסף .

הקניית ידע בלבד, ללא פיתוח של חשיבה, תוביל לנוקשות ולאי יכולת להתמודד עם נושאים חדשים. 

חשיבות רבה לידע שרוכש התלמיד, אך ידע ללא כלי חשיבה סופו שאינו בר תועלת לשימוש עתידי. ברוב המקרים חלק גדול ממנו ישתכח. בתנאים המשתנים של עולמנו ידע מיושן ייוותר ללא שימוש ויותיר את בעליו ללא יכולת התמודדות עם חידושים ושינויים.

הקניית כלי חשיבה תספק כלים להתמודדות במצבים חדשים. השולט בכלי חשיבה יוכל להחליט על דרכו גם במצבים בלתי צפויים. בסופו של דבר, היכולות הקוגניטיביות שהאדם רוכש יפתחו בפניו את הדרך ליצירתיות. ללא גמישות אין אפשרות להגיע אל החדש, להבינו ועוד יותר מכך לייצר ידע חדש כלומר, להיות יצירתי.  

לעומת זאת, חשיבה ללא ידע כמוה כְּפָּסַל שיש לו רעיון על פֶּסֶל שהוא רוצה ליצור אלא, שבהעדר חומרים ומיומנות אין הוא מסוגל להוציא לפועל את הרעיון שהגה.

הידע טוב למערכות קבועות וודאיות, כלי החשיבה מספקים מענה לעיסוק במערכות לא-וודאיות.

רק שילוב של ידע עם שליטה בכלי חשיבה ובמיומנויות יענה על דרישות החינוך בתקופתנו.

נראה להלן שבתרגילים של החילוק הארוך ובהוראתם יש משום שני הפנים האלה של החינוך.

הם תורמים לביסוס ידע קודם בכפל, בחיבור ובחיסור, ומפתחים פעילויות מנטליות רחבות היקף והשפעה.   

 

פיתרון בעיות מילוליות שנעשה על ידי תרגילי חילוק מצריך הפעלה של חשיבה  מורכבת ומופשטת. השאלה שנותרה היא האם תירגול של תרגילי חילוק רב-סיפרתיים תורם אף הוא לפיתוח החשיבה?

 

יצירתיות ואלגוריתם

יש גישות של חקר הטוענות שאין צורך ללמד את הילד אלגוריתם בכפל ובחילוק. יש לעורר אותו ליצירתיות ולחיפוש דרכים אחדות לפיתרונות של תרגילים.

לפי הגישות האלה, מתן ביטוי ליצירתיות של הילד יתרום להתפתחותו וילמד אותו לייצר מידע חדש בכוח עצמו.

כדאי להבהיר את מהות המושג : יצירתיות.

יצירתיות היא שימוש בלתי שיגרתי בידע קיים. פירוק של תבניות קיימות ושימוש בלתי צפוי במרכיביהן ליצירת תבניות חדשות.

שוגים אלה הסבורים שהוראת האלגוריתם נמצאת בקוטב המנוגד ליצירתיות, ולא היא. אפשר ללמד את האלגוריתם בדרך שתפתח את היצירתיות ותתרום להבנה ולהפנמה של החוקיות המתימטית ולשימוש באלגוריתם כנקודת מוצא לחיפוש דרכים נוספות לפיתרון.

המתימטיקה היא מקצוע שהלכידות שלו היא חלק ממאפייניו המובהקים. כל פרק בו כרוך וקשור בפרק אחר, על כל תהליך של חשיבה בו נארג אשכול של מסקנות ושל פעולות המאששות זו את זו.

תלמיד שלא ילמד את האלגוריתם בכפל ובחילוק ייצא מפסיד משני הכיוונים: הוא לא יוכל לפתח יצירתיות של אמת, הבנוייה על גבי ידע שרכשו אבות אבות אבותיו, והוא עלול להפסיד את המיפגש עם התכונה הקוהורנטית של המתימטיקה שכבר הפכה להיות חלק מנכסי צאן ברזל של התרבות האנושית. הוא יהיה כאותו אוטודידקט שידיעותיו מלוקטות מפה ומשם , אך מפעם לפעם נחשפים "חורים" בהשכלתו.

מי שלא למד את הפיתרון האלגוריתמי משול לממציא הגלגל במאה ה 21. משמע, שב ויוצר פעם נוספת את הקיים ממילא, מבלי שחידש מאומה. אנרגייה רבה תאבד בחיפוש דרכים אלטרנטיביות לפיתרון בעייה שכבר נפתרה.

מוטב להשקיע תחילה במסירת פתרונות שיצרה התרבות האנושית בהצלחה ואחר כך לחפש פיתרונות נוספים, חדשניים.

יצירתיות בכל תחום מבוססת על ידע, הבנה וחדשנות ואינה מושתתת על בורות.

יש להיזהר בשימוש במושג: יצירתיות. גדולי האנשים היצירתיים בעולם שלטו היטב בידע האנושי שקדם להם. פיקאסו ידע היטב את תורות הצבעים והצורות ואיינשטיין לא היה מגיע להישגיו אילולא ידע משמעותה של נוסחא מתימטית.

ידע בעל ערך מצוי בידי האנושות. כאשר הידע אינו מועבר לדור הבא ובמקומו נדרש התלמיד לייצר ידע "חדש", גדלים אנשים שטחיים, שהידע שלהם אינו מושלם ובסופו של דבר גם לא יהיו יצירתיים.    

 מטעמים אלה נטפל ביתרונותיו של החילוק הארוך על בסיס האלגוריתם המסורתי.

 

תירגול של חילוק ארוך ותרומתו לחשיבה

תרגול פיתרון של חילוק ארוך, מצריך שימוש בתהליכי חשיבה מורכבים, המעמיקים את ההבנה המתימטית ותורמים לפיתוח הקוגניטיבי הכללי.

 

תרומתו של החילוק הארוך לפיתוח היכולת להתמצא במרחב

 

בחיבור ובחיסור הפיתרון מתחיל בימין ומתקדם לשמאל.

לדוגמא, בתרגיל הבא:

 

כדי לפתור את תרגיל החיסור אנחנו מנסים להחסיר 6 אחדות מאחדה אחת. איננו יכולים לעשות זאת, לכן אנחנו מארגנים אחרת את המיספר ופורטים את העשרות. לוקחים עשרת אחת וממירים אותה ל 10 אחדות המצטרפות לאחדה שבמחוסר. פעולה כזאת של פריטה מצריכה כיוון מסויים.

גם בחיבור פעולת ההמרה מצריכה אותו כיוון.

לדוגמא, התרגיל:

 

חיבור האחדות נותן לנו 14 אחדות שיש לארגנן במיבנה העשרוני, לכן אנחנו ממירים 10 אחדות בעשרת אחת. כדי לבצע את פעולת ההמרה עלינו לפעול מימין לשמאל.

גם בכפל אנחנו פועלים באותו כיוון.

 

למשל בתרגיל:

אנחנו מתחילים בסיפרת האחדות גם בכופל, גם בניכפל וגם בחיבור המכפלות החלקיות של 336 אחדות ושל 96 העשרות. 

רק בחילוק כיוון הפעולה הוא משמאל לימין.

כדי שהלומד יבין את זה עליו לעשות פעילות מנטלית של הבדלה ולהפעיל את הכושר שלו להתמצאות במרחב. בלי השילוב של שני אלה הוא לא יוכל לפתור את התרגיל:

 

ארגון התרגיל דורש אף הוא התמצאות במרחב. יש לארגן את המאות מתחת למאות, את העשרות מתחת לעשרות ואת האחדות מתחת לאחדות.

תלמיד שסובל מהיעדר או ליקוי בהתמצאות במרחב, הנמצאת ברשימת הפונקציות הקוגניטיביות הפגומות שמונה פוירשטיין בשלב הקלט, יתקשה אפילו לגשת לתרגיל.

לדוגמא: תלמידה בת 11 שאלה את מורתה שנתנה לה תרגיל חילוק מעין זה: מאיזה צד צריך להתחיל?

תירגול חילוק ארוך יכול להשתלב בתיווך שמטרתו תקיפת הפונקצייה הקוגניטיבית הפגומה הזאת, תוך שמקבל התיווך מתרגל את הפיכות הכיוון ומודע לחשיבותו.

אפילו אם הפותר יתעלם מהמשמעות של המיבנה העשרוני וייגש לפיתרון רק ברמה הטכנית שלו, כיוון הפעולה הוא תנאי הכרחי, אף כי לא מספיק, להצלחתו.

תרגיל כזה יאפשר לתלמיד שאינו סובל מפונקצייה קוגניטיבית פגומה זו להפנים את הפעילות המרחבית ואת ההפיכות של כיוון הפעולה, ולהביא את הפעולות האלה לרמה של אוטומטיזצייה .

הימנעות מהוראתם ותירגולם של תרגילים כאלה, עלולה להשאיר רושם שתמיד כיוון הפעולה בחשבון הוא מימין לשמאל.  

 

בזכות האוטומטיזצייה

 

לאוטומטיזצייה תפקיד מכריע בתחושת המסוגלות והשליטה. לדוגמה, ידיעת הכפל מתרחשת בשתי רמות: האחת הבנת משמעות הכפל.

                                      השנייה שימוש בלוח הכפל ביעילות תוך ידיעתו בעל-פה.

לאחר שלב ההבנה חייב להגיע שלב התירגול. גם תרגילי חיבור וחיסור נרכשים על ידי תירגול חוזר ונישנה. שכיחותם של תרגילים כאלה בחיי יומיום, כמו: בקניות  ובעודף שאנו מקבלים, תורמת להפנמתם ולשליטה בהם. נוצר מעגל של תירגול שמוליך להעמקת הידע ולהפיכתו לאוטומטי. השליטה בידע מסייעת לשליפתו המהירה וזו גורמת לכך שאנחנו מחשבים במהירות כה רבה תרגילים כמו 4 + 8 עד שמרביתנו לא ניטרח לגשת למחשבון למציאת הפיתרון. כתוצאה מכך שליטתנו מתעמקת בידע וגם תחושת המיספרים מתבססת.

החילוק הארוך מבוסס על ידע קודם. יש בו חזרה על כפל, חיבור וחיסור.

הכפל בשלבי הביקורת, החיסור לבדיקת השארית, החיבור בעת כפל לצורכי ביקורת. לעתים נדרש הפותר לכפול בעל-פה תרגילי כפל של מיספר חד-סיפרתי במיספר רב סיפרתי. עליו לכפול את סיפרת האחדות. אם המכפלה שמתקבלת מכילה עשרות, עליו להמיר את האחדות לעשרות ולחבר את מיספר העשרות לעשרות הנתונות. כלומר, לבצע תרגיל חיבור .

לדוגמא, בתרגיל:

= 76 : 6751

עליו לחלק 675 ב 76  ולקבל  8 .

לצורך ביקורת עליו לכפול את 76 ב 8 .

תהליך יעיל לביצוע הכפל, כדאי שייעשה בעל-פה : 8 כפול 6 שווה 48. ניכתוב 8 ניזכור 4. 8 כפול 7 הם 56, נחבר את ה -  4 ונקבל  60. כלומר, הכפל שביצענו לצורכי ביקורת נתן תוצאה: 608 . נחסיר את 608 מ -  675 ונקבל את השארית : 67.

וכך הלאה.  כל 4 פעולות החשבון נשזרות על תרגיל אחד.

התלמיד מבחין שלידע קודם יש שימוש מיידי, לכן הידע הקודם מקבל משמעות נוספת. יש בתהליך הזה משום תיווך למשמעות שהוא מרכיב חשוב של התהליך התיווכי. 

השימוש בידע קודם מסייע להפנמתו, מחזק את תחושת המיספר ואת הרגשת המסוגלות. תלמיד הפותר תרגילי חילוק ארוך משפר את שליטתו בכל הפעולות האריתמטיות. הוא מסוגל להפנות אנרגייה לפיתרון בעיות מורכבות מבלי שמעצורים בחישובים חשבוניים ייעכבו אותו.

המשך