מערכת התייחסות	יחס, העשרה אינסטרומנטלית	תיווך	פונקציות קוגניטיביות פגומות:קלט
פונקציות קוגניטיביות פגומות:עיבוד	פונקציות קוגניטיביות פגומות:פלט	אופרציות מנטליות	שינוי מבני, מוטיבציה פנימית
חזרה לספר המורה

אופרציות מנטליות

האופרציות המנטליות הן פעולות חשיבה שמתרחשות בעת תהליך קוגניטיבי. תקינותו של התהליך הקוגניטיבי בכל תחום תלוייה ביכולת הפרט להפעיל את האופרציות המנטליות.

היכולת להפעלתן ולשימוש בהן מותנית בפונקציות קוגניטיביות תקינות. בהעשרה אינסטרומנטלית תוקפים את הפונקציות הקוגניטיביות הפגומות, כדי לאפשר הפעלה מוצלחת של האופרציות המנטליות.

רשימה של אופרציות מנטליות וקשריהן לפונקציות הקוגניטיביות

ילדים רבים ניכשלים במתימטיקה בגלל אי יכולתם להפעיל את פעולות החשיבה הנידרשות לביצוע המטלות המתימטיות. יש והסיבה לאי ההצלחה נובעת מהאופרצייה עצמה שיש לטפל בה. יש והסיבה נעוצה בפונקציות הקוגניטיביות הפגומות.

מצד אחד פגיעה בפונקציות הקוגניטיביות ובאופרציות המנטליות עלולה לחסום את המתימטיקה בפני הלומד, מצד שני אפשר ללמד את המתימטיקה כך שהיא תישא אופי תיווכי והיא תסייע בתקיפת הפונקציות הקוגניטיביות הפגומות ובבניית אופרציות מנטליות תקינות.

נדגים את הקשרים בין הפונקציות הקוגניטיביות לבין האופרציות המנטליות ובין שתיהן לבין המתימטיקה, על ידי הצגתן של מספר פעולות חשיבה ופירוט מקצת הקשרים שלהן עם המתימטיקה.

מאחר שהבנת המתימטיקה דורשת מהעוסק בה הפעלה תקינה של הפונקציות הקוגניטיביות ושל האופרציות המנטליות, מניחה לדעת חשבון שאחת ממטרות המתימטיקה היא בניית מבני חשיבה המושתתים על פונקציות קוגניטיביות ואופרציות מנטליות תקינות. לפי הגישה של לדעת חשבון הוראה טכנית של המתימטיקה עלולה ליצור קיפוח תרבותי ולמנוע מהתלמיד התנסות תיווכית.

השוואה

אדם ש תפיסתו מטושטשת לא יוכל להבחין בפרטים שאותם יש להשוות. תפיסה גורפת תביא אותו להכנסת אלמנטים שאינם קשורים להשוואה לתוך ההשוואה.

תפיסה אימפולסיבית עלולה למנוע מראש את ההשוואה החייבת באיסוף נתונים מדוייק. { שלב הקלט }

בהשוואה עלינו להתייחס בהכרח למספר אלמנטים, כי ההשוואה נעשית בין שני דברים לפחות. מי שמתקשה להתייחס בו זמנית לשני מקורות מידע, לא יהיה מסוגל לבצע השוואה.

מי שמצוי ב שלב העיבוד ואינו חש בקיומה של בעייה לא יחוש בצורך לבצע השוואה, אף אם היא נידרשת לתהליך הקוגניטיבי.

התפיסה האפיזודית, התופסת כל אירוע כחד פעמי ואינה מחפשת את הקשר בין האירועים, מונעת מהפרט לגשת להשוואה, כי מעצם טיבעה ההשוואה יוצרת קשר בין אירועים ומי שתפיסתו אפיזודית אינו מסוגל לראות את הקשר הזה.

אדם שאין לו נטייה ספונטנית להשוואה לא יפעיל את ההשוואה גם כאשר היא מתבקשת בגלל הנסיבות.

ההשוואה במתימטיקה

במתימטיקה נעשית ההשוואה בתחומים רבים, כגון: השוואה בין גדלים שונים, השוואה בין צורות שונות. אין תחום מתימטי שאפשר ללמדו ללא הסתמכות על השוואה.

לדוגמא: בגיאומטרייה - חפיפת משולשים או דמיון בין משולשים הם שני תהליכי השוואה.

דוגמא בחשבון: בלדעת חשבון לכיתות ה' ו' משווים בעיות של מציאת החלק מהשלם והשלם מהחלק. אי אפשר להבין את שני הסוגים האלה של הבעיות אלא על הבסיס של ההשוואה ביניהם. ההשוואה בין מכנה משותף בשלמים לבין מכנה משותף בשברים הפשוטים מעמיקה את ההבנה של השיטה העשרונית ושל השבר הפשוט כאחד.

זו הסיבה שבגללה התכנית לדעת חשבון לכיתה ה' פותחת בתהליך של השוואה וממשיכה להעמיקו בכל שלב של הלמידה. היחידה הראשונה

אצל חלק ניכר מהתלמידים בניית השוואה תקינה בעת לימוד החומר המתימטי תתרום לבנייה של האופרצייה המנטלית הזאת עד כדי יכולת ליישם את תהליך החשיבה המתאים גם בתחומים חוץ-מתימטיים. במקרים אלה, דרך המתמטיקה מתנסה הלומד בחווייה של תיווך. מי שלוקה באחת מהפונקציות הקוגניטיביות שנימנו לעיל, יתקשה בהשוואה עצמה. הוא עלול להיכשל הן במתימטיקה והן בתחומים אחרים, תלוי במידת עוצמתה של הפגימה בפונקציות הקוגניטיביות שההשוואה ניסמכת עליהן. ניתן יהיה לסייע לתלמיד כזה רק על ידי תיווך ממוקד כמו זה שמקנה העשרה אינסטרומנטלית.

בין האופרציות המנטליות יש יחסי גומלין מורכבים, לעיתים אלו יחסים הירארכיים, לעיתים הם יחסים של חפיפה חלקית ולעיתים לאופרצייה אחת יחסים מורכבים עם מיספר אופרציות אחרות. דוגמא להירארכיה הוא היחס בין השוואה למיון. לא ייתכן לערוך מיון תקין ללא שליטה בתהליך ההשוואה.

מיון

לחשיבה ממיינת נודעת חשיבות רבה בפעילויות מתימטיות. כאשר הפותר ניתקל בבעייה כלשהי הוא משייך אותה לסוג מסויים של בעיות ומסוגל להשתמש בחוקיות המתאימה המובילה לפיתרון הבעייה. דוגמא מלדעת חשבון: תלמיד קורא בעייה ועליו להחליט האם היא שייכת לבעיות של מציאת החלק מהשלם או אולי למציאת השלם מהחלק.

דוגמא מהגיאומטרייה: כדי להוכיח שזוויות שוות מנסה הפותר לשייך אותה לחפיפת משולשים. הוא ינסה להיעזר במישפטים השייכים לתחום החפיפה. אם לא הצליח, ינסה לשייכה לזוויות בין מקבילים וכך הלאה לזוויות במעגל או למשולשים דומים. התהליך הזה של חיפוש מערכת ההתייחסות המתאימה הוא חשיבה ממיינת.

אנאליזה

אנאליזה הוא ניתוח מערכת היחסים שבין השלם לחלקיו.

בלדעת חשבון מודגש מאוד התהליך האנאליטי.

דוגמאות בולטות להפעלת אנאליזה בלדעת חשבון: הצגת השבר על כל משמעויותיו, ההסברים על פעולות הכפל והחילוק של השברים הפשוטים, מציאת החלק מהשלם, השלם מהחלק והאחוזים.

תרגיל חשיבה למעיין:

הרוצה להבין את הקשרים בין האופרצייה המנטלית – אנאליזה – לבין פונקציות קוגניטיביות, יוכל לעבור על רשימת הפונקציות הקוגניטיביות הפגומות ולחפש באילו פונקציות קוגניטיביות תלוייה תקינותה של האנאליזה.

סינתזה

בסינתזה מצרף האדם יחידות מידע ומגבש אותן לשלם אחד.

בלדעת חשבון נעשה כל הזמן קישור בין מה שנלמד בעבר לבין חומר חדש, אף אם שני הנושאים נראים כביכול לא קשורים זה לזה.

דוגמא לכך: המכנה המשותף בשלמים והמכנה המשותף בשברים הפשוטים, כפי שהם מוצגים בלדעת חשבון. זהו תהליך של סינתזה שמדגיש את הקוהורנטיות של המתימטיקה.

מציאת החלק מהשלם והשלם מהחלק על ידי התהליך האנאליטי של פירוק כל פעולה לשתי פעולות ניפרדות: חילוק וכפל. סינתזה בין פעולות הכפל והחילוק מאפשרת פיתרון בעיות מהסוג האמור.

למשל, במציאת 3/7 מ – 140, נבצע פעולת חילוק ב – 7 , כדי לקבל ערכה של שביעית אחת (חילוק) , עלינו לקחת 3 פעמים את הערך הזה, על כן עלינו לכפול ב – 3 את ערך השביעית. (כפל)

צירוף פעולות הכפל, החילוק, המשמעות של השבר ופיתרון הבעיות יוצר סינתזה ומאפשר תהליך של הטמעת החומר המתימטי והפנמתו.

אנאלוגייה

אנאלוגייה נבנית על ידי הבנת החוקיות שקיימת בין מרכיבים והשלכתה על מערכת

נוספת של מרכיבים. למשל בתרגיל הבא:

אנייה לים כמו _____ לאוויר.

הפותר אנאלוגייה כזאת יודע שהיחס בין אנייה לים הוא שהים הוא התווך שבו נעה האנייה. הפותר שמצא את החוקיות הזאת ישליך אותה על מערכת היחסים הנוספת הנתונה: המטוס והתווך שבו הוא נע.

בלדעת חשבון ימצא הקורא דוגמאות רבות לאנאלוגיות. העתקת החוקיות ממערכת אחת לשנייה מאפשרת הסתמכות על חוקים שנרכשו לבניית מערכות חדשות של חוקים הבנויים על אותו עיקרון.

דוגמא לכך: המעבר מהשלמים המיוצגים על ידי צורות אל השלמים המיוצגים על ידי כמויות.

ייצוג פנימי

הסבר על אופייה של האופרצייה מנטלית הזאת – במאמר אל תיתנו להם בדידים.

אופרציות נוספות שהוזכרו בלדעת חשבון הן: הבדלה, זיהוי והבחנה.

הבדלה

הבדלה היא היכולת להבחין פריט מסביבתו ולזהות את גבולות התופעה.

זיהוי

זיהוי היא פעולה שבה האדם מכיר תופעה או אירוע, מבדילו מסביבתו ויוצר השוואה בין התופעה או האירוע לבין המוכר לו.

הבחנה

הבחנה היא תוצאה של השוואה.

מחנך שילמד מתימטיקה לפי לדעת חשבון בכיתות ה' ו' יחוש כיצד הפעילויות ביחידות הראשונות מתקשרות לפונקציות הקוגניטיביות הפגומות, בעוד שבפרקים מתקדמים הנגיעה בפונקציות האלה פוחתת והולכת ולעומתה מפעילים הלומדים אופרציות מנטליות מורכבות יותר. זהו מנגנון חשיבה מחוייב המציאות.

שיום

מתן שם לתופעה הוא תהליך של יצירת קוד. המשיים אינו משתמש בדבר הקונקרטי אלא בייצוג המילולי שלו. בדרך זו הוא יוצר מרחב פסיכולוגי המאפשר לו איחסון ידע ושליפתו ביעילות.

הסמלה

אופרצייה זו מורכבת משני תהליכים:

הצפנה - בניית הסמל;

פענוח - הבנת המשמעות של הסמל.

דוגמא:

ב"מתמטיקה יסודית" [ שיטת סינגפור ] ספר הכיתה הראשון לכיתה א' עמוד 41 , יש ציור של צפרדע קופצת למים. מאחוריה מצוייר שובל לבן המסמל את נקודת המוצא ואת פעולת הקפיצה. הבנת המשמעות של המצוייר מחייבת תהליך של פענוח הסמל.

הבנת יחסים

הבנת יחסים בין מרכיבים יכולה להתרחש ברמת המרחב הפיזי האישי: מה מימיני , מי לפני, וכו'.

במתמטיקה הפעלת האופרציה הזאת בדרך נאותה היא תנאי להצלחה. ברמה ראשונית הבנת המבנה העשרוני מחייבת הבחנה בין ימין לשמאל. 65 מכיל 6 עשרות ו – 5 אחדות, לעומת 56 המכיל 5 עשרות ו – 6 אחדות. ההבנה של הפעולות ההפוכות: חיסור וחילוק מחייבת הבנה של כיווניות הפעולה. למשל, אם לטלי יש פי 6 יותר מחברות מאשר ליעל , הרי ליעל יש פי 6 פחות מחברות מאשר לטלי.

בתוך המתמטיקה, וגם מחוצה לה, יש מערכות יחסים רבות ומגוונות. הבנתן מהווה תנאי הכרחי להבנת הקשרים המתמטיים והצגתם.

השלכת יחסים

אחרי ההבנה של היחסים ניתן להפעיל את האופרצייה של השלכת יחסים. דוגמא לכך תשמש המפה. לאחר שהובנו הצדדים האישיים, הצדדים של הזולת שאינו בכיווני, ניתן להבין את שושנת הרוחות ולקרוא ולצייר מפות.

דוגמא מהתחום המתמטי: ילד שמבין שיש לחיסור מספר משמעויות. כלומר, שתופעות שונות מובילות לאותו תרגיל של חיסור, יהיה מסוגל בנקל להבין שיש משמעויות שונות לחילוק, ולהבין אותן.

הבנת היחס מובילה להבנת חוקיות. בהשלכת יחסים נעשה שימוש בחוקיות שהובנה גם בתחומים אחרים. אנאלוגייה היא סוג אחד של השלכת יחסים.

הפיכות

זוהי אופרציה שמחייבת הפנמה של התהליך הישר. ללא הבנת הפעולה הישרה ומערכות היחסים בתוכה אי אפשר "ללכת אחורה" במחשבה.

דוגמאות להפיכות:

1) בהתמצאות במרחב

אדם שעובר ממקום א' למקום ב' יוכל לחזור באותו מסלול רק אם הפנים את המסלול על כל פרטיו.

2) בהנדסה

התהליך הישר: זיהוי מצולעים בסרטוט מורכב.

התהליך ההפוך: בניית סרטוט מורכב מחלקים נתונים. [טנגרם]

3) בחשבון

התהליך הישר: חיבור מקוצר של קבוצות שוות גודל על ידי כפל.

התהליך ההפוך: הפרדת קבוצה כוללת לקבוצות שוות גודל על ידי חילוק.

מערכת התייחסות	יחס, העשרה אינסטרומנטלית	תיווך	פונקציות קוגניטיביות פגומות:קלט
פונקציות קוגניטיביות פגומות:עיבוד	פונקציות קוגניטיביות פגומות:פלט	אופרציות מנטליות	שינוי מבני, מוטיבציה פנימית
חזרה לספר המורה

המשך