המעגל והעיגול

שרטטו מעגל כלשהו.

ציינו את הנקודה המרכזית שלו.

העבירו קוטר.

מדדו את הקוטר.

קחו חוט ומדדו באמצעותו את אורך המעגל.

חשבו את היחס בין אורך המעגל לאורך הקוטר.

שרטטו מעגל בקוטר אחר. חזרו על אותן הפעולות.

חזרו על הפעולות האלה לגבי מעגלים שונים.

מה גיליתם?

________________________________ .

היחס בין המעגל לבין קוטרו הוא יחס קבוע.

 קטרים שווים להיקף העיגול.

זהו יחס שאינו ניתן לביטוי מדוייק כשבר עשרוני.

נהוג לציינו בקירוב: 3.14.

3.14 הוא מספר טהור ונהוג לסמנו באות היוונית .

שמה של האות היוונית : פַּיְי

נסמן את הקוטר של המעגל באות הלטינית K.

הנוסחה של אורך המעגל תהיה:

K  = P

ידוע לנו שהקוטר שווה לשני רדיוסים.

בנוסחה נבטא את היחס הזה:  R 2 = K

נציב את היחס הזה בנוסחת ההיקף של העיגול ונקבל:

R 2  = P

בנוסחאות נהוג לציין את המספר בראש הנוסחה ולקרוא לו: מְקַדֵּם.

הנוסחא תהיה:

R  2 = P

במקום לומר : שתיים כפול פיי כפול R , אומרים בקצרה: "שְנֵי פַּיְי אָר".

אפשר למצוא את אורך המעגל, שהוא היקף העיגול, אם נתון המחוג (הרדיוס) של המעגל ולהיפך.

דוגמאות

דוגמא ראשונה:

נתון: R = 8 ס"מ

מצאו את ההיקף.

R  2 = P

8 x 3.14 x 2 = P

50.24 ס"מ = P

תשובה: היקף העיגול שווה 50.24 ס"מ.

דוגמא שנייה:

נתון: היקף העיגול 42.5 ס"מ.

מצאו את רדיוס העיגול.

R  2 = P

R x 3.14 x 2 = 42.5

R 6.28 = 42.5

R = 6.28 : 42.5

R = 6.77

מחוג העיגול שווה 6.77 ס"מ.

 

שטח העיגול

לפניכם עיגול המחולק לגזרות שוות.

העתיקו אותו לגיליון נייר.

גזרו את הגזרות וסדרו אותן זו ליד זו כך שהרדיוסים יתלכדו והקשתות יהיו פעם לכיוון אחד ופעם לכיוון ההפוך.

 הדביקו אותן כמתואר בציור.

המשיכו בפעולתכם עד שכל הגזרות תסודרנה זו ליד זו.

נסו לדייק בגזירה.

איזו צורה שאתם מכירים דומה לצורה שיצרו הגזרות?

_____________________________ .

דמיינו שהגזרות כל כך קטנות עד שהקשתות בקצותיהן יוצרות כמעט קו ישר.

איזו צורה נקבל?

____________________________ .

איך מוצאים את שטחה?

____________________________ .

מה אורכה ומה רוחבה?

____________________________ .

 

 

 

הצורה שקיבלנו דמויית מלבן. אם הגזרות מאוד מאוד קטנות נקבל כמעט מלבן, שאורכו מחצית היקף העיגול. הסבירו למה:

___________________________ .

רוחבו של המלבן הוא מחוג המעגל.

השטח שנקבל יהיה:

מחצית היקף העיגול כפול הרדיוס.

מחצית היקף העיגול היא _______________ .

מכפלת מחצית ההיקף ברדיוס היא ______________ .

נוסחת שטח העיגול היא:

במילים:

שטח העיגול שווה לפיי כפול הרדיוס בריבוע.

לפי החוקים של סדר הפעולות, כשנתון הרדיוס ומחפשים את השטח, קודם עלינו ל_______________ ואחר כך ל _____________ .

דוגמא:

מצאו את שטח העיגול שרדיוסו 4 ס"מ.

 

שטח העיגול הוא: 50.24 סמ"ר.

 

 

פתרו את התרגילים הבאים:

1. מצאו את שטחו ואת היקפו של עיגול שאורך מחוגו 7 מ"מ.

2. היקפו של עיגול 31.4 ס"מ. מה שטחו?

3. שטחו של עיגול 28.26 סמ"ר. מה היקפו?

4. מצאו את היקפו ואת שטחו של עיגול שקוטרו 2 מ'.

5. בגן ציבורי סידרו מערך של ערוגות עגולות. במרכז המערך - ערוגה שקוטרה 8 מטר. מסביב לה 5 ערוגות שקוטרן 2 מטר.

חשבו את השטח הכולל של כל הערוגות במערך.

הקיפו כל ערוגה בגדר, מה אורך הגדרות כולן?

6. פי כמה גדול שטחו של עיגול שרדיוסו 10 ס"מ מעיגול שרדיוסו 2 ס"מ?

7. פי כמה גדול היקפו של עיגול שמחוגו 12 ס"מ מהיקפו של עיגול שמחוגו 4 ס"מ?

8. איזו מסקנה ניתן להסיק מבעיות (6) ו - (7)?

גיזרה

השטח השחור הוא גיזרה.

 

הגדרה:

השטח הכלוא בין שני רדיוסים נקרא גִּזְרָה.

נהוג לסמן זוויות באותיות יווניות:

α        אַלְפָא ,  

     β   בֵּיתָא ,   

γ       גָמָא ,

δ      דֶלְתָא.

היחידה שנקבעה למדידת הזווית היא מעלה =      10  והיא 1/360 מהעיגול.

 הגדרה:

זווית הכלואה בין  2 רדיוסים נקראת זווית מרכזית.

חשבו מהו שטח הגזרה הנמצאת בעיגול שרדיוסו 7 ס"מ והזווית המרכזית השייכת לגזרה זו היא  400 .

נסמן את הזווית הכלואה בין שני המיתרים שבשרטוט באות היוונית  α .

נוסחת שטח העיגול:

  

עלינו לחלקו ל 360 חלקים כדי למצוא שטח של מעלה אחת, ולכפול  ב α כדי למצוא שטח של α מעלות.

הנוסחא של מציאת שטח הגזרה תהיה, אם כך:

הגדרה:

קשת הוא חלק המעגל הכלוא בין שני רדיוסים.

 

מצאו את אורך הקשת הכלואה בין שוקי זווית מרכזית בת     במעגל שמחוגו הוא 7 ס"מ.

מיקטע

לפניכם עיגול. החלק השחור שבו הוא מִקְטָע.

הגדרת המיקטע:

 

 מיקטע הוא חלק העיגול הכלוא

בין מיתר ובין הקשת השייכת לו.

 

 

הציעו דרכים לחישוב היקף המיקטע ושטחו.

רמז:

התבוננו בשרטוט הבא:                                                         

                                                                                                 

 

 

פתרו את התרגיל הבא:

מהו ההיקף של מיקטע שהזווית המרכזית שלו היא , אורך הרדיוס של המעגל הוא 5 ס"מ, הגובה למשולש שנוצר בין המיתר לרדיוסים הוא 3 ס"מ ואורך מיתר הוא 8 ס"מ? מצאו את שטחו.

שרטטו עיגול כלשהו ובו מיקטע.

מדדו את הנתונים ההכרחיים למציאת היקף המיקטע ושטחו.

חשבו את ההיקף ואת השטח של המיקטע.

חזרה