חישובי שטחים באמצעות נוסחאות

מקבילית

פרקי החשבון באתר שלפניכם נכתבו בהנחה שהלומד יודע ברמה כלשהי את ארבעת פעולות החשבון. לעומתם, פרקי ההנדסה אינם מדורגים באותה שיטה. לכן ימצאו הלומד והמלמד בפרק היחידות לתלמיד ובמדריך המתאים למורה  חישובי יחידות במספרים שלמים בלבד ובפרק העוסק בשטחים של צורות הנדסיות ימצא חישובים ביחידות עם שברים עשרוניים. זהו מבנה מודולרי שבו כל לומד יכול לבחור את המתאים לו לפי רמת ידיעותיו. 

קישור ליחידות שטח

חישוב שטח המקבילית, כמו שטח יתר הצורות שאינן ישרות זווית, כרוך בהוכחות גיאומטריות. בכיתה ו' מונח הנדבך הראשון של הוכחה כזו. בהמשך הלימודים ניתנות ההוכחות הגיאומטריות ברמתן הפורמלית. בשלב זה של הלמידה הילד מתנסה בתהליך מבלי לעבור את כל שלבי הפורמליזציה הגיאומטרית.

ביחידה הזאת, העוסקת בשטחי צורות שאינן ישרות זווית, התלמיד מתנסה בדרך חשיבה מתמטית של הרחבת תחומו של מושג.

מקבילית

לפנינו מקבילית  ABCD .

כדי למצוא את שטחה עלינו לחשב כמה יחידות ריבועיות יש בתוכה.

איזו בעייה מתעוררת בריצוף המקבילית עם יחידות ריבועיות?

למקבילית יש "פינות" שלתוכן אי אפשר לשבץ יחידות ריבועיות שלמות. אנחנו מודדים שטח על ידי מניין היחידות הריבועיות הכלולות בו. הפינות מקשות על התהליך.

כדי לפתור את הבעייה נוריד שני גבהים, כמו בשרטוט הבא:

הגבהים יצרו מלבן ABHG  .

שטח המקבילית ABCD  שווה לשטח המלבן ABHG .

בדקו זאת על ידי שרטוט מקבילית על גיליון נייר. הורידו שני גבהים , כמו בדוגמא שלפניכם. גזרו את המשולש BHC , הניחו אותו על המשולש ADG .

מה מצאתם?

המסקנה היא שטח המלבן ABHG שנוצר על ידי הורדת שני הגבהים המקבילים של המקבילית שווה לשטח המקבילית ABCD . כלומר אם הורדנו משולש בצידה האחד של המקבילית והוספנו אותו בצידה השני נקבל מלבן שווה שטח למקבילית.

שטח המלבן הוא :  AG  X  AB   = S  זהו גם שטח המקבילית.

במילים:

שטח המקבילית שווה למכפלת צלע המקבילית בגובהה.

כותבים זאת כך:

 

a   h x   a   =   S

a   h   מסמן את הגובה של הצלע a .

העתיקו את המקבילית ששרטטתם אל נייר אחר.

בחרו את הצלע AD של המקבילית. הורידו ממנו גובה. חשבו את שטח המקבילית לפי:

AD       h x  AD  = S

פירושה של הנוסחה: שטח המקבילית שווה למכפלת הצלע AD ב גובה  שלה.

חזרו על אותן הפעולות לגבי הצלע CD . מדדו את CD , מדדו את הגובה שלה. הכפילו אותם. קיבלתם את שטח המקבילית לפי הנוסחה:

CD  h  x  CD  = S

השוו את התוצאות.

סכמו את מסקנותיכם: כדי למצוא שטח של מקבילית עלינו לכפול את אחת מצלעותיה בגובה שלה. מכפלת צלע אחת בגובהה תתן אותה תוצאה כמו מכפלת הצלע השנייה בגובה שלה.

לתופעה הזאת קוראים במתימטיקה: אינוואריאנטה, למרות דרך החישוב השונה נקבל אותה תוצאה. נושא זה חשוב לתלמידים להבנת המושגים בסיס וגובה במשולש. תלמידים רבים טועים וחושבים שהצלע המאוזנת במשולש היא "בסיס" , כי רבים אומרים ששטח המשולש הוא : "בסיס כפול גובה חלקי שניים."

התלמידים צריכים לדעת ש"בסיס" הוא מושג השייך אך ורק למשולש שווה שוקיים . כמו כן, עליהם לדעת שאין זה משנה איזו צלע כופלים בגובהה, מה שחשוב הוא שלכל צלע גובה שונה ואי אפשר לכפול צלע אחת בגובהה של האחרת ולקבל את השטח המבוקש. בשל כך הודגש בחומר הלמידה הקודם אופיים של הגבהים בכל סוגי המשולשים.     

למדנו , אם כן , ששטח המקבילית שווה ל מכפלת אחת הצלעות בגובה שלה. .

שַעֲרוּ, האם כפל הצלע בגובה שאינו שלה ייתן לנו את שטח המקבילית?

מכפלת צלע בגובה של חברתה לא תתן את שטח המקבילית.

בדקו את השערתכם על ידי מדידה וחישוב. מה קיבלתם?

חייבים להקפיד על מכפלת הצלע בגובה שלה . אם לא שומרים על הכלל הזה אין מקבלים את שטח המקבילית.

פתרו:

 

1. אורך צלע המקבילית הוא 12 ס"מ. הגובה לצלע הזאת הוא 6 ס"מ. אורך הצלע השנייה הוא 7 ס"מ. חשבו על סמך הנתונים האלה את היקפה של המקבילית, את  שטחה  ואת הגובה השני שלה. 

פתרון:

שטח המקבילית:

a   h x   a   =   S

72 סמ"ר  = 6 X 12

כדאי להציג לפני התלמידים את הכתיבה האלגברית של הכפל. לציין שלפעמים הכפל מיוצג על ידי נקודה ולפעמים אינו נכתב בכלל.

אורך הגובה השני:

bh b=   S

h b  7  = 72

h b  =  10.28 ס"מ

היקף המקבילית:

38 ס"מ = 2 X ( 7 + 12 )

2. כתבו בעצמכם את הנוסחה המתארת את מציאת ההיקף של המקבילית. השתמשו באותיות הקטנות a,b  לציון הצלעות ובאות הגדולה P לציון ההיקף.

מתן האפשרות לתלמידים להגיע לבד לחוקיות ולנסחה באורח פורמלי מעמיק את ההבנה המתימטית.

הנוסחא:

2 X (a  +  b )  = P

3. היקף המקבילית הוא 26 מ'. צלע אחת שלה היא 8 מ'. מה אורך צלעה השניה?

פתרון:

2 X (a + 8 ) = 26

(a + 8 ) = 13

a = 5  מ'

מאחר שהתלמידים לא למדו עדיין את עיקרי הטכניקה האלגברית, זה המקום לבנות את התשתית של ההבנה האלגברית.

הסבר המורה:

ש: ניקח את מה שבסוגריים (a + 8 ) כיחידה אחת. אפשר להשתמש בדימוי של שתי כפות ידיים האוצרות בתוכן משהו, והן הסוגריים.  פעמיים היחידה הזאת הם 26 מה ערכה של יחידה אחת?

ת: 13 .

ש: 13 שווה ל a ועוד 8. כמה שווה ה a ?

לא מומלץ בשלב זה ללמד את החוקים הפורמליים של פתרון משוואות. הבסיס האינטואיטיבי יסייע לתלמיד בעתיד להבנת החוקיות הפורמלית.

4. שטח המקבילית הוא 32 סמ"ר. גובהה שווה 4 ס"מ. מה אפשר למצוא בעזרת שני הנתונים האלה?

פתרון:

ניתן למצוא את אורך הצלע השייכת לגובה הנתון.

5. צלע אחת של המקבילית היא 6 ס"מ. הצלע השנייה היא 5 ס"מ . איזה מידע ניתן להפיק מהנתונים האלה?

ידוע לנו שצלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו , לכן יש לנו ידע על כל ארבעת הצלעות. כאשר נתונים לנו אורכי שתי צלעות סמוכות במקבילית אפשר לחשב את היקף המקבילית.

6. גובה של אחת הצלעות של המקבילית הוא 7 ס"מ. גודל הצלע השנייה הוא 10 ס"מ מצאו את שטחה.

לא פתיר. אי אפשר לדעת את שטח המקבילית אם לא נתון גם אורך הצלע וגם אורך הגובה השייך לה.

7. למה במקבילית אנחנו זקוקים לגובה כדי לחשב את שטחה ואילו במלבן אין זה כך?

במלבן הצלע היא גם הגובה, כי היא ניצבת לצלע השנייה.

המשך