טרפז

ניזכר בסוגי הטרפזים שהכרנו.

שרטטו טרפז שווה שוקיים כלשהו.

שרטטו טרפז ישר זווית כלשהו.

שרטטו טרפז כללי.

נהוג לקרוא לגובה הטרפז לגובה העובר בין שני בסיסי הטרפז.

לפניכם טרפז כללי, לידו שמות חלקיו. העבירו קווים בין שמות החלקים לבין המקום המתאים להם בטרפז.

לפניכם שלושה טרפזים, לידם שמותיהם. מתחו קו בין השמות לבין הטרפזים המתאימים.

איזו בעייה עלולה להתעורר בחישוב השטח של הטרפז?

כמו במקבילית ובמשולש גם בטרפז יש זוויות לא ישרות ומתעוררת אותה הבעייה של מדידה ביחידות ריבועיות .

נסו למצוא פתרונות לקושי שבמדידת שטח הטרפז.

להלן אחת האפשרויות להסבר הנוסחא של שטח הטרפז.

העתיקו על גיליון נייר את הטרפז שלפניכם. קפלו את הגיליון כך שתוכלו לגזור בו זמנית שני טרפזים זהים לזה שהעתקתם.

חצו את השוק AD  או בעזרת סרגל ומחוגה או על ידי מדידה בסרגל.

חברו את הנקודה B עם אמצע AD והמשיכו את הקו עד שייפגש עם המשך הבסיס הגדול.

השרטוט ייראה כך:

גזרו מטרפז אחד מתוך השניים את המשולש ABK .

התאימו אותו למשולש KDM .

מה קיבלתם?

המשולש ABK חופף למשולש KDM והתקבל משולש גדול CBM השווה בשטחו לטרפז ABCD .

 

חתכנו מהטרפז משולש ABK והוספנו לו משולש החופף לו KDM    .

מסקנה:

שטח הטרפז ABCD שווה לשטח המשולש BMC  .

שטח משולש שווה לצלע כפול הגובה שלה חלקֵי 2.

   

כאשר גזרתם את המשולש BAK , שמתם בוודאי לב לעובדה ש : DM  =  AB  .

AB הוא הבסיס בקטן.

שטח המשולש CBM  שווה ל CM כפול הגובה h    חלקי 2.

CM = AB  +  CD , כלומר : סכום הבסיסים.

מכאן ששטח הטרפז = למחצית המכפלה של סכום הבסיסים בגובה .

הנוסחא תראה כך:

 

a    מציין את הבסיס הגדול.

  b מציין את הבסיס הקטן.

 h מציין את גובה המשולש הגדול , שהוא גם גובה הטרפז.

 

נסו לחפש דרכים אחרות להוכחת הנוסחא.

 

פתרו:

1. מה שטחו של טרפז שאורך בסיסו הגדול הוא 10 ס"מ. אורך בסיסו הקטן הוא 6 ס"מ וגובהו הוא 5 ס"מ?

פתרון:

רשמו תחילה את הנוסחא , הציבו בה את המספרים הנתונים ופתרו את התרגיל.

תשובה:

שטח הטרפז 40 סמ"ר.

 

2. נתון שטח הטרפז: 132 סמ"ר. אורך הבסיס האחד שלו 10 ס"מ. גובהו 11 ס"מ. מה אורכו של הבסיס השני?

 

אורך הבסיס השני: 14 ס"מ

3. הבסיס הגדול בטרפז: 15 דצ"מ , הבסיס הקטן : 8 דצ"מ , השטח: 230 דצמ"ר . מהו גובהו של הטרפז?

גובה הטרפז הוא 20 דצ"מ.

5. בגן ציבורי תכננו ערוגה בצורת טרפז. כדי לשמור על הצומח בה גדרו אותה. בסיס אחד של הטרפז היה באורך של 9 מ', הבסיס השני באורך של 7 מ'. שוק אחת של הטרפז הייתה 4 מטר, השוק השנייה הייתה 3.5 מ'. מה היה אורך הגדר?

פתרון:

היקף הערוגה היה  24.5 מ' = 3.5 + 4 + 7 + 9

 

6. מה שטחו ומה היקפו של משולש שווה צלעות שאורך צלעו 6 ס"מ וגובהו 5.2 ס"מ?

פתרון:

היקף המשולש: 18 ס"מ = 6 X 3

שטח המשולש:

סמ"ר

7. אורכו של מלבן 8.9 ס"מ רוחבו שווה למחצית אורכו. מה היקפו ומה שטחו?

פתרון:

הרוחב: 4.45 ס"מ = 2 : 8.9

ההיקף: 26.7 ס"מ = 2 X ( 4.45 + 8.9 )

השטח: 39.6 סמ"ר = 4.45 X 8.9

 

בתרגילי החישובים בהנדסה אפשר לעגל מספרים. לדוגמא: תוצאת הכפל של 4.45 ו 8.9 היא 39.605. הפותרים מחליטים על רמה מסויימת של דיוק ופועלים לפיה. אפשר לעגל את 39.605 ל - 39.6 או אפילו ל - 40. זוהי פעולה הנלמדת במקביל להוראת עיגול המספרים בחשבון בעת שימוש במחשבון.

הערה חשובה מאוד!

המבדקים הבינלאומיים הראו במובהק שמדינות שבהן המחשבון נכנס לשימוש מאוחר הצליחו יותר מהמדינות שבהן הוקדם השימוש במחשבון.

עם זאת, ניתן להתחיל בשימוש במחשבון החל בכיתה ו', ולעשות בו שימוש מוגבל ומושכל. עיגול תוצאות של פעולות במחשבון, כמו בתרגיל (7) יכול להיעשות במסגרת הלימוד המושכל של המחשבון. הוצאת שורש המתבקשת בתרגיל (8) יכולה להיעשות רק באמצעות המחשבון, כי התלמידים אינם יודעים כיצד לחשב הוצאת שורש כזה. שימוש כזה במחשבון ייעשה בתנאי שהתלמיד מבין היטב את המשמעות של הוצאת שורש.

8. שטחו של מגרש ריבועי הוא 2 דונם. מה אורכו? תנו את תשובתכם במטרים.

פתרון:

2 דונם = 2000 מ"ר.

אורך הצלע:                               

תשובה: אורך המגרש הוא 44.72 מ'.

 

9. שטחה של מקבילית 36 סמ"ר. גובהה 4 ס"מ. מה אורך צלעה?

פתרון:

9 ס"מ = 4 : 36

 

10. שטח מלבן 78.45 דצמ"ר . רוחבו 5.2 ס"מ. מה אורכו?

פתרון בעיה זאת מזמן שיחה על הצורך ביחידות משותפות לצורכי החישוב. אפשר להפוך את כל היחידות לדצ"מ ולדצמ"ר או להפוך אותן לס"מ ולסמ"ר.

פתרון:

5.2 ס"מ = 0.52 דצ"מ

150.9 דצ"מ = 0.52 : 78.45

תשובה: אורך המלבן שווה 150.9 דצ"מ.

שיחת סיכום על תהליך החשיבה

ש: איך מצאנו את שטח הריבוע?

ת: מצאנו כמה יחידות ריבועיות מכיל הריבוע.

ש: איך עשינו זאת?

ת: מצאנו כמה סמ"ר יש בשורה אחת, מצאנו כמה שורות יש. כפלנו את מספר השורות במספר היחידות בשורה אחת וקיבלנו כמה סמ"ר מכסים את פני השטח.

ש: היחידות הריבועיות הן רק סמ"ר?

ת: לא. יכול להיות שנמדוד שטח ביחידות ריבועיות אחרות, למשל מטר מרובע.

ש: איך מדדנו את שטחו של מלבן?

ת: בדיוק באותו אופן.

ש: מה קרה כשמדדנו שטח של מקבילית?

ת: שם נתקלנו בקושי, בגלל הזוויות שלא היו ישרות.

ש: ומה עשינו?

ת: הפכנו את המקבילית למלבן השווה לה בשטחו. את שטח המלבן אנחנו יודעים למדוד כי ניתן לחשב כמה יחידות ריבועיות הוא מכיל.

ש: מה עשינו אחר כך?

ת: למדנו איך לחשב את שטח המשולש.

ש: איך הגענו לנוסחת השטח של המשולש?

ת: את המשולש הפכנו למקבילית הגדולה ממנו פי 2.

מ: שימו לב לתהליך. הריבוע היה הבסיס, את המלבן הפכנו לריבוע שאת שטחו אנחנו יודעים לחשב. את המקבילית הפכנו למלבן שאותו הפכנו לריבוע שאותו יודעים לחשב.

את המשולש הפכנו למקבילית שאותה הפכנו למלבן שאותו הפכנו לריבוע שאותו אנחנו יודעים לחשב,

ועכשיו, מי יכול להמשיך את הרעיון?

ת: את הטרפז הפכנו למשולש. את המשולש הפכנו למקבילית, את המקבילית הפכנו למלבן ואת המלבן הפכנו לריבוע שאותו אנחנו יודעים לחשב.

מ: זה תהליך חשיבה המאפיין את המתימטיקה. כאשר מתימטיקאי נתקל בבעייה שהוא מתקשה לפתור, הוא מנסה להפוך אותה לבעייה מוכרת שכבר יודעים את פתרונה. אם הוא מצליח - הוא סיים את מלאכתו.

 זה התהליך שאנחנו עברנו:

ש: ננסה ליישם את העיקרון הזה בצורות  הבאות. הציעו דרכים למציאת שטחן.

 

עידוד התלמידים להציע דרכים שונות למציאת שטחים מעורר יצירתיות המתבססת על חוקיות מתימטית.

הדיון בכיתה:

ש: ראינו שיש כמה אפשרויות לחלוקת צורות חדשות לצורות ידועות לנו ואז אפשר למצוא את שטח הצורות ומכאן להגיע לשטח הצורה החדשה.

מתי כדאי לנו להשתמש בהצעה הראשונה?

ת: כדי למצוא את שטח המתומן לפי הצעה (1) אנחנו חייבים לדעת את  אורכה של צלע המתומן, שהיא גם הבסיס הקטן של הטרפז, את אורך גובה הטרפז ואת אורך האלכסונים המהווים בסיסים גדולים לטרפזים שנוצרו.

עם נתונים אלה נוכל לחשב את שטח 2 הטרפזים ואת שטח המלבן.

ש: מה הנתונים הנדרשים לחישוב השטח לפי הצעה (2)?

ת: כדי לפתור בדרך השנייה נצטרך לדעת את כל הנתונים שנדרשו ל (1) וגם את צלע הריבוע הפנימי.

ש: מה דעתכם על ההצעה השלישית?

ת: מספיק שנמצא שטח של משולש אחד ואז נכפול ב 8 .

ש: איך נמצא את שטח המשולש?

ת: צריך לדעת את אורך צלע המתומן ואת הגובה של משולש אחד.

ש: איזו משלושת הדרכים נראית לכם כיעילה ביותר?

ת: לפי דעתי, ההצעה השלישית דורשת פחות נתונים והיא יותר פשוטה.

ת: אני חושב שהתשובה תלוייה בנתונים שבידינו.

בשלב זה אפשר לתת לתלמידים לחשב את שטח המשושה הנתון בדרך הנראית להם כנוחה ביותר. את הנתונים יפיקו התלמידים מהשרטוטים שלפניהם על ידי מדידה בסרגל.

אפשר להציג לתלמידים צורות לא משוכללות. לבקשם שיציעו דרכים לחישוב השטחים.

 

לדוגמא:

התלמידים יפיקו את הנתונים על ידי מדידת הקטעים הדרושים לחישוב.

חשוב שהלומדים יבצעו גם חישוב של מצולע קעור כמו:

 

המשך