המעגל והעיגול

שרטטו מעגל כלשהו.

ציינו את הנקודה המרכזית שלו.

העבירו קוטר.

מדדו את הקוטר.

קחו חוט ומדדו באמצעותו את אורך המעגל.

חשבו את היחס בין אורך המעגל לאורך הקוטר.

שרטטו מעגל בקוטר אחר. חזרו על אותן הפעולות.

חזרו על הפעולות האלה לגבי מעגלים שונים.

מה גיליתם?

היקף העיגול שווה קצת יותר מ 3 קטרים.

היחס בין המעגל לבין קוטרו הוא יחס קבוע.

   קטרים שווים להיקף העיגול.

זהו יחס שאינו ניתן לביטוי מדוייק כשבר עשרוני.

נהוג לציינו בקירוב: 3.14  .

הפכו את המספר        לשבר עשרוני. מה קיבלתם?

קיבלנו מספר מעורב עשרוני אינסופי .

המספר שהתקבל יהיה 3.1428571  ואפשר להמשיכו אחרי הנקודה. יש לחזור על הנושא של עיגול המספרים ולציין שנהוג לעגל מספר זה עד שתי ספרות אחרי הנקודה, כלומר, 3.14 .  

קישור עיגול מספרים.

3.14 הוא מספר טהור מסמנים אותו באות היוונית  Л  .

שמה של האות היוונית : פַּיְי

נסמן את הקוטר של המעגל באות הלטינית K .

נוסחת המעגל תהיה:

K Л = P

ידוע לנו שהקוטר שווה לשני  רדיוסים.

נבטא את היחס הזה בנוסחא:       R  2  = K  

נציב את היחס הזה בנוסחת ההיקף של העיגול ונקבל:

R  2 Л = P

בנוסחות נהוג לציין את המספר בראש הנוסחה ולקרוא לו : מְקַדֵּם.

הנוסחא תהיה:

 

Л R 2  =   P

במקום לומר 2 כפול פיי כפול R , אומרים בקצרה:" שְנֵי פַּיְי R ".

המורה חוזר ומזכיר את החוקיות האלגברית.

זיכרו:

שתי אותיות סמוכות ללא כל סימן ביניהן מציינות כפל ביניהן. הוא הדין ביחס למספר ולאות.

אפשר למצוא את אורך המעגל , שהוא היקף העיגול, אם נתון המחוג ( הרדיוס) של המעגל ולהיפך.

דוגמאות:

דוגמא ראשונה:

נתון :R  = 8 ס"מ.

מצאו את ההיקף.

Л R 2  =   P

8  x    3.14  x  2  =  P

50.24  ס"מ =  P

תשובה: היקף העיגול שווה 50.24 ס"מ.

דוגמא שנייה:

נתון : היקף העיגול 42.5 ס"מ.

מצאו את רדיוס העיגול.

Л R 2  =   P

R  x   3.14  x   2  =  42.5

R  6.28  =  42.5

R  =  6.28  :  42.5

R  = 6.76

מחוג העיגול שווה 6.76 ס"מ.

 

שטח העיגול

מה הבעייה שמתעוררת במדידת שטח העיגול?

אי אפשר לשבץ בו יחידות רבועיות. .

כדי להתגבר על הבעיה של חישוב שטח עיגול נחלקו לגזרות דקיקות. התלמידים יבצעו את המהלך בעצמם.

לפניכם עיגול המחולק לגזרות שוות.

העתיקו אותו לגיליון נייר.

גזרו את הגזרות וסדרו אותן זו ליד זו

כך שהרדיוסים יתלכדו והקשתות

יהיו פעם לכיוון אחד ופעם לכיוון

ההפוך.

הדביקו אותן בדרך זו.

המשיכו בפעולתכם עד שכל הגזרות תסודרנה זו ליד זו.

נסו לדייק בגזירה.  

איזו צורה שאתם מכירים דומה לצורה שיצרו הגזרות?

מלבן .

דמיינו  שהגזרות כל כך קטנות עד שהקשת בקצותיהן היא כמעט קו ישר.

איזו צורה נקבל?

מלבן .

איך מוצאים את שטחה?

את שטח המלבן מוצאים על ידי הכפלת האורך ברוחב .

מה אורכה ומה רוחבה?

הצורה שקיבלנו דמויית מלבן. אם הגזרות מאוד מאוד קטנות נקבל כמעט מלבן שאורכו מחצית היקף העיגול. הסבר למה :

מחצית מהגזרות מסודרות בכיוון אחד, המחצית השנייה בכיוון ההפוך. כל הקשתות ביחד הן היקף העיגול, אז אורך המלבן שהתקבל הוא מחצית ההיקף.

רוחבו של המלבן הוא מחוג המעגל.

השטח שנקבל יהיה:

מחצית היקף העיגול כפול הרדיוס.

מחצית היקף העיגול היא  r   π  .

מכפלת מחצית ההיקף ברדיוס היא       

מכאן, נוסחת שטח העיגול היא:

 

במילים:

שטח העיגול שווה לפּיי כפול הרדיוס בריבוע.

לפי החוקים של סדר הפעולות, כשנתון הרדיוס ומחפשים את השטח,  קודם עלינו

ל העלות בריבוע ואחר כך ל כפול .

דוגמא:

מצאו את שטח העיגול  שרדיוסו 4 ס"מ.

 

 

שטח העיגול הוא : 50.24 סמ"ר.

פתרו את התרגילים הבאים:

1. מצאו את שטחו ואת היקפו של עיגול שאורך מחוגו 7 מ"מ.

פתרון:

השטח:

153.86 ממ"ר = 49 X 3.14

ההיקף:

43.96 מ"מ = 7 X 3.14 X 2

2. היקפו של עיגול 31.4  ס"מ. מה שטחו?

מההיקף נקבל את הרדיוס: 

r                 P =  2 π

r  6.28   =   31.4

r    =  5  ס"מ.

השטח:

78.5 סמ"ר = 25 X 3.14

3. שטחו של עיגול 28.26 סמ"ר . מה היקפו?

הערה

ציון הרדיוס יכול להיעשות ב - r  קטן או ב - R גדול. מרבית הספרים מציינים את ההיקף באות P, בגלל המילה PERIMETER = היקף , אך יש מספר ספרים שמסמנים את ההיקף באות H בגלל המילה העברית: היקף. לכן בחישוב שלעיל נשאר הסימון H.

4. מצא את היקפו ואת שטחו של עיגול שקוטרו 2 מ'.

ההיקף:

6.28 מ'.

השטח:

12.56 מ"ר.

5. בגן ציבורי סידרו מערך של ערוגות עגולות . במרכז המערך ערוגה שקוטרה 8 מטר. מסביב לה 5 ערוגות שקוטרן 2 מטר.

חשבו את השטח הכולל של כל הערוגות במערך.

פתרון:

שטח הערוגה הגדולה:

200.96 מ"ר = 64 X 3.14

שטח כל הערוגות הקטנות:

62.8 מ"ר = 5 X 4 X 3.14

השטח הכולל של כל הערוגות:

263.76 מ"ר = 62.8 + 200.96

הקיפו כל ערוגה בגדר, מה אורך הגדרות כולן?

פתרון:

היקף הערוגה הגדולה:

25.12 מ' = 8 X 3.14

היקף כל הערוגות הקטנות:

31.4 מ' = 5 X 2 X 3.14

אורך הגדר:

56.52 מ' = 31.4 + 25.12

6. פי כמה גדול שטחו של עיגול שרדיוסו 10 ס"מ מעיגול שרדיוסו 2 ס"מ?

פתרון:

יחסי הרדיוסים נותנים את קנה המידה.

קנה המידה הוא:

                  5  :  1

אז יחסי השטחים הם:

                 25 : 1

תשובה: שטח העיגול הגדול גדול פי 25 משטח העיגול הקטן.

 

7. פי כמה גדול היקפו של עיגול שמחוגו 12 ס"מ מהיקפו של עיגול שמחוגו 4 ס"מ?

פתרון:

יחסי המחוגים הם:

            3  :  1

היקפו של העיגול הגדול הוא פי 3 מהיקפו של העיגול הקטן, כי יחסי האורכים הם לפי קנה המידה.

 

 

8. איזו מסקנה ניתן להסיק מבעיות (6) ו (7).

יחסי ההיקפים הם כיחסי

הקטרים.

יחסי השטחים הם כריבוע

יחסי הקטרים.

המשך