קווי הלוואי של המשולשים

למשולשים יש 4 סוגים של קווי לוואי:

1 ) גבהים

2 ) חוצי זוויות

3 ) תיכונים

4 ) אנכים אמצעיים

לכל אחד מהסוגים יש תכונות משלו.

לקווי הלוואי חשיבות מעשית: מיפגש האנכים האמצעיים נותן את המעגל החוסם, מיפגש חוצי הזוויות את מרכז המעגל החסום, הגבהים ישמשו אותנו בחישובי שטחים והתיכונים בהבנת יחסים בין קטעים. ( למורה שמעוניין בהעמקה: מיפגש שלושת התיכונים הוא מרכז הכובד של המשולש.)

 

תיכונים

הגדרה:

קטע המחבר את הקודקוד עם אמצע הצלע שמולו הוא תיכון.

כמה תיכונים למשולש?

יש שלושה תיכונים למשולש. לכל צלע וקודקוד שמולה יש תיכון אחד.

נלמד כיצד לשרטט אותם.

1. שרטטו משולש חד זווית.

בעזרת הבנייה של חציית קטע מצאו אמצע של צלע אחת.

חברו בקו ישר את נקודת האמצע שמצאתם עם הקודקוד שמול הצלע שחציתם.

הקטע הזה הוא התיכון.

חזרו על הפעולה הזאת גם לגבי צלעות אחרות.

מה גיליתם?

שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת.

מסקנה:

במשולש חד זווית שלושת התיכונים נפגשים ב נקודה אחת. נקודת המיפגש נמצאת בתוך המשולש .

2. שרטטו משולש קהה זווית.

שרטטו את שלושת תיכוניו .

מה אתם יכולים לומר עליהם?

גם במשולש קהה זווית שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת הנמצאת בתוך המשולש.

3. שרטטו משולש ישר זווית ושלושת תיכוניו.

במשולש ישר זווית שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת הנמצאת בתוך המשולש.

מסקנה כוללת:

שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת הנמצאת בתוך המשולש בין אם הוא חד זווית או ישר זווית או קהה זווית. .

נקודת הפגישה של התיכונים מחלקת כל תיכון לשני קטעים. קטע אחד קרוב יותר לקודקוד וקטע שני רחוק ממנו.

בדקו את היחס בין שני הקטעים האלה במשולש חד הזווית. אפשר למדוד את אורך החלקים בסרגל, אפשר להשתמש במחוגה לצורך זה.

המשתמש במחוגה מודד בעזרתה את אורך הקטע הסמוך לקודקוד. מנקודת החיתוך של התיכונים הוא מציין פעם אחת על ידי קשת את אורך הקטע שמדד ואחר כך הוא מבחין שפעמיים הקטע הקרוב לקודקוד מוכל בקטע הרחוק ממנו.

כדאי לעודד את התלמידים לבצע את המדידה בשתי הדרכים, כדי לבסס את מושג היחס. 

מה מצאתם?

הקטע הרחוק מהקודקוד קטן פי 2 מהקטע הקרוב אליו.

ייתכנו גם ניסוחים אחרים, כמו:

היחס בין הקטע הקרוב לקודקוד לבין הקטע הרחוק ממנו הוא 2 ל 1

או:

נקודת המיפגש של התיכונים מחלקת כל אחד מהם לשני קטעים כך שהקטע הרחוק מהקודקוד שווה למחצית הקטע הקרוב אליו.

חזרו ובחנו את היחס הזה במשולש ישר זווית.

מה מצאתם?

אותו יחס קיים גם בתיכונים של המשולש ישר הזווית.

שערו מה יהיה היחס הזה במשולש קהה זווית ובחנו את השערתכם על ידי מדידה.

גם בו נמצא אותו היחס בין חלקי התיכון.

נסחו מהו החוק שמצאתם לגבי נקודת המפגש של התיכונים:

גם במשולש חד זווית , גם במשולש ישר זווית וגם במשולש קהה זווית שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת הנמצאת בתוך המשולש . נקודה זאת מחלקת כל אחד מהתיכונים לשני חלקים כך שהחלק הקרוב לקודקוד גדול פי 2 מהחלק הרחוק ממנו.

חשוב מאוד שהילדים ישרטטו בעצמם את המשולשים ואת התיכונים. תיאור הבניה של התיכונים מצורף לתיאורי הבניה . יש להסב את תשומת לב הילדים לכך שבעת בניית התיכונים איננו חוזרים על כל פרטי תיאורי הבניה הקודמים. אנחנו מקבלים אותם כמובנים מאליהם.

אנכים אמצעיים

הגדרה:

אנך אמצעי הוא ישר המאונך לקטע באמצעיתו.

 

שרטטו משולש חד זווית ובנו לכל אחת מצלעותיו אנך אמצעי.

שלושת האנכים האמצעיים נפגשו בנקודה אחת הנמצאת בתוך המשולש .

 

שרטטו משולש ישר זווית ואת שלושת האנכים האמצעיים של צלעותיו.

היכן נמצאת נקודת המיפגש של שלושת האנכים האמצעיים?

נקודת המפגש של שלושת האנכים האמצעיים נמצאת על היֶתֶר. היא נמצאת באמצע היֶתֶר. (היֶתֶר זו הצלע שמול הזווית הישרה.)

שרטטו משולש קהה זווית  ואת שלושת אנכיו האמצעיים.

היכן נמצאת נקודת המפגש של שלושת האנכים האמצעיים?

שלושת האנכים האמצעיים במשולש קהה זווית נפגשים בנקודה אחת הנמצאת מחוץ למשולש.

סכמו את מה שמצאתם לגבי האנכים האמצעיים.

שלושת האנכים האמצעיים במשולש נפגשים בנקודה אחת. במשולש חד זווית נקודת המפגש של שלושתם בתוך המשולש, במשולש ישר זווית היא על היתר ובמשולש קהה זווית היא מחוץ למשולש.

שרטטו עוד משולש חד זווית ובנו לו את שלושת אנכיו האמצעיים.

מדדו באמצעות מחוגה את מרחק נקודת המפגש של האנכים האמצעיים מאחד מקדקודי המשולש. בדקו באותו אופן את מרחק הנקודה הזאת מיתר קדקודי המשולש.

כל הקדקודים נמצאים במרחק שווה מנקודת המפגש של האנכים האמצעיים.

מסקנה:

אפשר להעביר מעגל שמרכזו ב נקודת המפגש של האנכים האמצעיים.

ושכל קדקודי המשולש יהיו עליו.

שרטטו את המעגל הזה ובדקו אם אכן שלושת קדקודי המשולש מצויים עליו.

בניתם את המעגל החוסם  של המשולש.

הגדרה:

מעגל ששלושת קדקודי המשולש מצויים עליו הוא מעגל חוסם של המשולש.

כל נקודות המשולש, חוץ מהקדקודים, מצויות בתוך המעגל החוסם.

 

שרטטו משולש קהה זווית ובנו את המעגל החוסם שלו.

שרטטו משולש ישר זווית ובנו את המעגל החוסם שלו.

 

סיכום:

נקודת המפגש של שלושת האנכים האמצעיים היא מרכז המעגל החוסם .

במשולש חד זווית מרכז המעגל החוסם נמצא בתוך המשולש .

במשולש ישר זווית מרכז המעגל החוסם נמצא באמצע היתר .

במשולש קהה זווית מרכז המעגל החוסם נמצא מחוץ למשולש .

לפניכם משולש ישר זווית ושמות צלעותיו. השתמשו בשמות הצלעות שלו כדי לענות על השאלה הבאה.

חזרה לשונית באה להבטיח קליטת המושגים, לכן יש חזרה על שמות הצלעות במשולש ישר זווית.

השאלה הבאה מתארת אותה התופעה מזווית ראייה אחרת.

מהו הרדיוס של המעגל החוסם משולש ישר זווית?

רדיוס המעגל החוסם שווה למחצית היתר.

[בגיאומטריה אותה התופעה מנוסחת במשפט:

זווית היקפית במעגל הנשענת על הקוטר היא זווית ישרה.]

תיאור הבניות של האנכים האמצעיים

המשך