יחידות שטח

למדוד שטח של משהו, פירושו למנות את מספר יחידות השטח המוכלות בתוכו.

נוח מאוד לרצף שטח ביחידות ריבועיות, כי קל לרצף משטחים בעזרתם.

היחידה הריבועית הראשונה שנכיר: סנטימטר מרובע.

יש אפשרות לרצף שטח גם עם מצולעים משוכללים, שכל צלעותיהם וכל זוויותיהם שוות זו לזו, אבל אלו אינם משמשים כיחידות מידה מקובלות, כי הריצוף עם ריבועים פשוט יותר.

סנטימטר מרובע הוא ריבוע שאורך צלעו ס"מ אחד.

נהוג לרשום את השם : סנטימטר מרובע, בראשי תיבות: סמ"ר.

כבר בשלב זה יש להציג לפני התלמידים את הסימון הנוסף לסמ"ר והוא: ס"מ2.

 

1)  מיצאו את שטחן ואת היקפן של הצורות הבאות.

זיכרו:

ההיקף הוא אורך הקו המקיף את הצורה, לכן הוא נמדד במספר יחידות האורך הכלולות בו.

השטח נמדד במספר יחידות השטח הכלולות בו.

דוגמא לדיון

מ: איך נדע מהו שטח הצורה?

ת: נמנה את מספר יחידות השטח הכלולות בו.

מ: נכון, ואיך נדע את ההיקף?

ת: אנחנו יודעים שכל ריבוע הוא סמ"ר אחד, לכן כל צלע שלו היא ס"מ. עברתי בעיניים לאורך ההיקף ומניתי את מספר הס"מ שהקיפו את הצורה.

מ: זה נכון לצורות הנתונות, שבהן אנחנו יודעים מהו אורך הצלע של הריבוע, אבל איך נמצא היקף של צורה כזאת, שנקראת אליפסה?

ת: ניקח חוט ונקיף בעזרתו את הצורות. אחר כך נפרוש את החוט ונמדוד את ההיקף.

מ: הרעיון מעולה. לחלק מהצורות החסומות על ידי קווים עקומים יש נוסחאות שמאפשרות חשוב יעיל יותר, אבל לחלקן אין כל נוסחה כזאת. במקרים כאלה אנחנו חייבים להקיף את השטח הכלוא בתוך הצורה ולמדוד את אורך הקו שנוצר.

נוסחה [נוסחא, אפשר בשני הכתיבים] היא ביטוי מתמטי שמציין מהי הדרך למציאת גודל כלשהו.

האם תוכלו להציע דרך לחישוב השטח של צורות אלה?

ת: [לא מדוייקת] נרצף אותן.

מ: איך נרצף אותן עם יחידות ריבועיות? הרי אמרנו שיחידות המידה של שטח הן ריבועיות. איך הן תיכנסנה לתוך הצורות?

ת: [תשובה חלקית] נשבור אותן.

מ: איך?

ת: אני לא יודע.

מ: יפה מאוד. אדם שיודע שהוא אינו יודע הוא גדול החכמים. באתונה בשנים

469  -  399 לפני הספירה. חי אדם בשם סוקרטס. מישהו יכול לחשב לפני כמה שנים הוא חי?

ת: עד התחלת הספירה יש 2005 שנים. אני הולך אחורה עוד 400 שנה. הוא חי בערך לפני 2400 שנה.

מ: נכון. סוקרטס היה פילוסוף, כלומר, אוהב חכמה. הוא אמר: "אני יודע שאני לא יודע." כאשר אנחנו מבינים שאיננו יודעים  הגענו לשיא החכמה האנושית.

חישוב שטח של עיגול או אליפסה מסובך. בשלב זה לא נלמד כיצד לעשות זאת.

מלאו את הטבלה הבאה:

הצורה

השטח

ההיקף

א'

 6 יחידות שטח

12 יחידות אורך

ב'

6 יחידות שטח

14 יחידות אורך

ג'

6 יחידות שטח

24 יחידות אורך

ד'

6 יחידות שטח

11 יחידות אורך

 

מסקנה

2) כל הצורות הן שוות שטח, אבל אינן שוות היקף .

 

3) חשבו את שטחיהם ואת היקפיהם של הריבועים הבאים:

 

 

4) איך אפשר לחשב את שטח הריבוע בלי למנות את הריבועים המרצפים אותו?

נמנה את מספר הריבועים בשורה אחת ונכפול אותו במספר השורות. כך נמצא כמה ריבועים מרצפים אותו. כופלים את האורך ברוחב. בריבוע האורך והרוחב שווים, לכן יוצא שאנחנו כופלים את האורך בעצמו..

מ: כפל המספר בעצמו נקרא העלאה בחזקה. כותבים את זה כך:

*.  כאשר a מייצג את אורך צלע הריבוע. 2 מסביר שכופלים את a  פעמיים בעצמו,

 כלומר,  =  a x a .

זוהי הצגה ראשונה של העלאה בחזקה במסגרת הנושא הזה.

5) איך אפשר לחשב את היקף הריבוע בלי למדוד את אורך הקו המקיף אותו?

נמדוד את אורך הצלע האחת של הריבוע ונכפול אותו ב - 4.

מ: למדנו שאפשר לייצג את אורך הצלע באות a . איך נכתוב בעזרת a את הנוסחה של היקף הריבוע?

ת: 4 כפול a.

מ: הנוסחות במתמטיקה רשומות בעזרת אותיות לטיניות ומספרים, יש גם עוד אמצעים לרישום נוסחות מתמטיות. בשלב זה נעסוק רק באותן הנוסחות שבהן משתמשים באותיות לטיניות במספרים ובסימנים מתמטיים של 4 פעולות החשבון.  במקום לכתוב 4 כפול a נהוג לומר בקצרה ארבעה a ורושמים זאת ללא סימן כפל:. כמו שאומרים ארבעה ילדים ולא 4 פעמים ילד.

נהוג לציין את ההיקף באות P ואת השטח באות S . עכשיו אנחנו מכירים כבר את נוסחות ההיקף והשטח של הריבוע:

=  S

a 4  =  P

6) מה שטחו ומה היקפו של ריבוע שאורך צלעו 7 ס"מ?

צעד ראשון: רישום הנוסחה הרלוונטית.

עצם הבחירה בנוסחה המתאימה מעידה על הבנה.

צעד שני: הצבה.

צעד שלישי: פתרון

צעד רביעי: ניסוח תשובה.

דוגמה:

נתון: 7 ס"מ = a

? = P

? = S

P = 4 a = 4 x 7 = ס"מ 28

S = a2 = 72 = סמ"ר 49

 

7) חשבו את שטחו של ריבוע שצלעו 10 ס"מ.

חשוב להסתמך על הנוסחות של הריבוע כדי לפתור את (6) ו - (7).

לשוחח על הצבה.

דוגמה לשיחה בכיתה

מ: למדנו את נוסחות השטח וההיקף של ריבוע. נלמד איך רושמים את הפתרונות. 

נפתור ביחד את הבעייה הבאה:

מה שטחו ומה היקפו של ריבוע שאורך צלעו 8 ס"מ.

נרשום את נוסחת השטח. מי זוכר מהי?

ת:=  S

מ: מה המובן של מה שכתבתם?

ת: כדי למצוא שטח של ריבוע צריך לכפול את אורך צלע הריבוע בעצמה.

מ: נכון. מהו אורך הצלע?

ת: 8 ס"מ.

מ: כאשר שואלים אתכם שאלה כזאת, רושמים קודם את הנוסחה. זה יותר יעיל ומאורגן ומונע טעויות. כמו כן, אתם מסבירים לקורא בדרך זו לפי מה אתם עובדים. מי מוכן לגשת ללוח לרשום את הנוסחה?

ת:  =  S

מ: איזה נתון יש לנו?

ת: 8  ס"מ  =  a

מ: במקום  a נכניס את ערכו, שהוא 8 ס"מ. לפעולה כזאת קוראים: הצבה

(= העמדה במקום). נציב את 8 במקום a .

64 סמ"ר  =  2 8 =  2 a  =  S 

מ: נהוג לכתוב את ההצבה בשני צעדים:

2 a  =  S 

64 סמ"ר  =  2 8 = S

איך אתם מציעים לפתור את החלק השני של הבעייה?

ת: נרשום את הנוסחה. נציב במקום a את 8 ס"מ.

מ: איך נרשום זאת?

ת:

a 4  =  P

32 ס"מ   =  8 x 4 = P

מומלץ לעודד את התלמידים לקרוא את הסיכום ולהמציא בעיות כמו:

יש לי חדר ריבועי. אורכו 4 מ' . מה היקפו ומה שטחו?

להציגן לפני הכיתה ולהזמין ילד שיפתור אותן על הלוח שעה שכל יתר התלמידים יפתרו אותן במחברות.

המשך