הוצאת שורש

רצוי לתת לילדים לקרוא לבד את ההסבר שלפניהם ולהציג לפני הכיתה דוגמאות. 

הפעולה ההפוכה להעלאה בחזקה היא הוצאת שורש.

הוצאת שורש מהחזקה השנייה נקראת הוצאת השורש הריבועי.  

כדי לבצע פעולה זו עלינו למצוא את המספר שאם נכפול אותו פעמיים בעצמו נקבל את המספר שלפנינו.

דוגמא:

מהו השורש הריבועי של 25?

תשובה: השורש הריבועי של 25 הוא 5 , כי 5 כפול 5 שווה 25.

רושמים זאת כך:

22) פיתרו:

אפשר לתרגל הוצאת שורש גם במספרים גדולים יותר, אם התלמידים מסוגלים לחשב זאת בעל-פה.

אין להתיר שימוש במחשבון לפני כיתה ו', לכן אין לתרגל הוצאת שורש אלא רק במספרים שלמים ונוחים לניחוש. השימוש במספרים טבעיים בנושאי ההנדסה נובע מאופיו של הפרק הזה שעיקר מטרתו היא הקניית עקרונות. תרגול במספרים לא שלמים יכול להידחות.  

אין להתייחס לשורשים השליליים בפרק זה.

23) פיתרו

 

א) מה היקפו ומה שטחו של ריבוע שאורך צלעו 5 ס"מ?

ב) מה היקפו ומה שטחו של משולש שווה צלעות שאורך צלעו 6 ס"מ? לאיזה נתון נוסף אנחנו נזדקק כדי שנוכל לחשב את שטחו. הציעו דרך למציאת הנתון הזה.

לאחר דיון בכיתה מגיעים למסקנה שהדרך היעילה ביותר לחישוב השטח היא הורדת גובה ומדידתו. אם התלמידים למדו כיצד מוצאים שטח של משולש, יוכלו להשתמש בנוסחה ולהגיע לפתרון. אם התלמידים לא למדו מציאת שטח של משולש, יש להראות להם כיצד מוצאים שטח של מקבילית, על ידי הורדת גבהיה. שטח המשולש הוא מחצית שטח המקבילית שצלעה והגובה לאותה צלע שווים לצלע המשולש ולגובה שלה.

כיתה שכבר למדה חומר זה תוכל לסכם את המבנה הלוגי:

הגדרת שטח ריבוע

6

חישוב שטח מלבן על ידי חלוקתו לריבועים

6

חישוב שטח מקבילית על ידי הפיכתה למלבן שווה שטח

6

חישוב שטח המשולש על ידי הצגתו כמחצית שטח המקבילית.

 

ג) מה היקפו ומה שטחו של מלבן שאורכו 18 ס"מ ורוחבו קטן פי 2 מאורכו?

הפתרון:

נתון :

a  =  18  ס"מ

b  =  9 ס"מ

?  =  P

?  =  S

( b  +  a ) 2  =  P

( 9  +  18) x 2  =  P

54  ס"מ  =  27  x  2  =  P

b  x  a  = S

162  סמ"ר  =  9  x  18  =  S

ד) היקפו של ריבוע הוא 32 דצ"מ. מה שטחו? השתמשו בנוסחאות להסברת הפתרון.

נתון:

32  דצ"מ  = P

a  =  ?

2 a  =  S

a 4  =  P

a 4  =  32

a  =  8  דצ"מ

2 a  =  S

64  דצמ"ר  =  82 = S

ה) שטחו של ריבוע הוא 81 סמ"ר מה היקפו? פרטו את שלבי הפתרון.

נתון:

81  סמ"ר  = S

a  = 

9 ס"מ   =       a

a 4  =  P

36 ס"מ  =  9  x 4  =  P

 

ו) אורכן של צלעות משולש הן 4 ס"מ , 2 ס"מ , 3 ס"מ. איזה מידע נוסף נוכל לקבל על המשולש על סמך הנתונים האלה?

נוכל לדעת את היקפו על ידי חיבור אורך צלעותיו.

ז) אורך הצלע במשולש שווה צלעות הוא a , גובה המשולש הזה הוא h . הביעו את היקפו (P )  ואת שטחו (S) בעזרת הנתונים האלה.

3 a =  P

ח) היקפו של מלבן הוא 48 ס"מ. אורכו גדול פי 3 מרוחבו. מה שטחו?

48 ס"מ  =  P

3b   = a

b  x  a  = S

2a + 2b = 48

 8b  =  6b  +  2b  =  48

b  =  6  ס"מ

a  =  2 ס"מ

   12 סמ"ר = 6 x 2  =  b  x  a  = S

ט) אורך אחת מצלעות המקבילית הוא 12 ס"מ. הגובה של אותה צלע הוא 1 דצ"מ. מה שטחה של המקבילית?

הפתרון

הנתונים מחייבים היפוך היחידות, כי לא ניתן לכפול ס"מ בדצ"מ. בבעייה (ט) כדאי להפוך את הדצ"מ לס"מ, כי אין טעם להפוך את 12 הס"מ ליחידות מעורבות.

נתון

12  ס"מ  =  a

10  ס"מ  =  ha

ha  a  =  S

120  סמ"ר  =  12  x  10  =  S

י) אורך מלבן הוא 9 ס"מ , רוחבו הוא 4 ס"מ. בָּנו ריבוע השווה לו בשטחו. מה אורך הצלע של הריבוע? מהו היקף המלבן? מהו היקף הריבוע? האם ההיקפים שווים? מהי המסקנה הנובעת מהתוצאה האחרונה?

פתרון

שטח המלבן:

b  x  a  = S

36 סמ"ר  =  9 x  4  =  S

שטח הריבוע:

36  סמ"ר

אורך צלע הריבוע:

הקף המלבן:

2b  +  2a  = P

26  ס"מ  =  18  +  8  =  9 x 2  +  4 x 2  =  P של המלבן

הקף הריבוע:

4a  =  P

24 ס"מ =  6 x 4  = P

המסקנה:

צורות יכולות להיות שוות שטח ושונות הקף.

י"א) שטחו של משולש הוא 24 סמ"ר. אורך צלעותיו: 12 ס"מ, 8 ס"מ , 6 ס"מ. מיצאו את אורכם של כל הגבהים של המשולש.

פתרון

שטח המשולש שווה למחצית המכפלה של צלע המשולש בגובה שלה. מטרת התרגיל היא לעורר את המודעות שאפשר לחשב את השטח על פי כל צלע שהיא ועל פי הגובה של אותה צלע.

יש להדגיש ש"בסיס" קיים רק במשולש שווה שוקיים והוא הצלע שאיננה שוק וקביעת הבסיס אינה תלויה בכיוון המשולש.

 

הערה

תלמידים רבים חושבים שנוסחת השטח היא בסיס כפול גובה חלקי 2.

הם חושבים שאם המשולש משורטט בדרך זו

יתקשו תלמידים אלה בקביעת ה"בסיס" ובחישוב שטח המשולש.

מומלץ להדגיש שאת שטח המשולש אפשר לחשב ב - 3 דרכים שונות, לפי הנוסחה:

1/2 aha =  1/2 bhb = 1/2 chc

זו הזדמנות לחזור על הורדת אנך, על הגדרת הגובה ואולי אף על בנייתו ועל משמעות נוסחת השטח:

הגובה לאחת הצלעות הוא 4 ס"מ.

באותו אופן מחשבים את יתר הגבהים.

24) במשולש נתונים:

40 ס"מ  =  a

48  ס"מ  =  b

24 ס"מ  =  a  h 

20  ס"מ  =  c

מיצאו את:

S  =   ?

P  =  ?

b  h   = ?

c  h  = ?

לפי נוסחת השטח מחשבים את שטח המשולש. ממנו ומהצלע הנתונה הנוספת מחשבים את הגובה הנוסף. את ההיקף מוצאים על ידי חיבור אורכי הצלעות.

25) שטח מקבילית הוא 48 סמ"ר. גובה המקבילית הוא 6 ס"מ. מה אורך הצלע שהגובה הזה שייך לה? אורך הצלע השנייה של המקבילית הוא 4 ס"מ. מה אורך הגובה של צלע זו?

כמו בחישוב שטח המשולש, גם בחישוב שטח המקבילית יש להציב את הנתונים בנוסחה.

26) אורכו של אולם מלבני הוא 50 מטר. רוחבו 40 מטר. ריצפו אותו באריחים ריבועיים שאורכם 40 ס"מ. בכמה אריחים ריצפו את האולם?

כדי לבדוק כמה אריחים ריצפו את האולם עלינו להפוך את כל היחידות ליחידות משותפות.

50 מ' הם 50,00 ס"מ

40 מ' הם 4,000  ס"מ .

שטח האולם : 20,000,000 סמ"ר

שטח כל אריח: 1600 סמ"ר

על ידי חילוק להכלה נמצא כמה אריחים מרצפים את האולם.

מספר המרצפות הכלול בו :

12500מרצפות = 1600  :  20,000,000

27) סיידו חדר שאורכו 5 מטר, רוחבו 4 מטר וגובהו 3 מטר. בחדר שני חלונות. אורכו של כל חלון הוא  2 מטר וגובהו מטר וחצי. בחדר יש דלת ששטחה 3 מ"ר. מחיר הסיוד עבור מ"ר הוא 72 ש"ח. כמה עלה סיוד החדר? 

הסיוד כולל גם את התקרה ואינו כולל את החלונות והדלת.

יש 2 קירות ששטח כל אחד מהם הוא : 15 מ"ר.

שטח של כל אחד משני הקירות האחרים: 12 מ"ר.

שטח הקירות הוא: 54 מ"ר.

שטח התקרה: 20 מ"ר.

שטח כל חלון: 3 מ"ר.

מחשבים את שטח הקירות והתקרה. מחסרים משטח זה את שטח הדלת והחלונות ומקבלים את שטח הסיוד.

המשך